Unity3D C#数学系列之坐标系之间的变换

2021年3月21日 0 作者 老王

1 引言

工作中经常要进行各个坐标系之间的相互转换,比如要将Oxyz坐标系中的点变换到O’x’y’z’坐标系下,这就涉及到两个坐标系之间的变换矩阵问题。
当然两个坐标系之间的变换矩阵是有公式的,比如Oxyz绕x轴旋转θ角后得到O’x’y’z’,则Oxyz到O’x’y’z’的变换矩阵为
(需要注意的是,本文说的旋转都是按照左手法则来定义方向的,如果使用的是右手坐标系,下面结论中的sinθ的符号会是相反的)
绕x轴旋转θ角的变换矩阵

再比如Oxyz绕y轴旋转θ角后得到O’x’y’z’,则Oxyz到O’x’y’z’的变换矩阵为
绕y轴旋转θ角的变换矩阵

奈何自己实在天生愚笨,一直无法记住这么多的变换矩阵。所以每次在进行坐标变换时,我都是重新推导。推导过程不难,但是经常忘记,这里做个记录,以便以后查阅。

2 坐标变换

2.1 结论

坐标变换矩阵

2.2 示例

举个例子,我们坐标系Oxyz绕x轴旋转θ角得到坐标系O’x’y’z’,求Oxyz到O’x’y’z’的变换矩阵。
绕x轴旋转θ角图示
如图,我们可以知道Oxyz的x轴在O’x’y’z’坐标系下的表示为(1, 0, 0),Oxyz的原点O在O’x’y’z’坐标系下的表示为(0, 0, 0)
Oxyz的y轴在O’x’y’z’坐标系下的表示为多少呢?
如图
如图,可以看出,Oxyz的y轴在O’x’y’z’坐标系下的表示为(0,cosθ,-sinθ)。
同理,Oxyz的z轴在O’x’y’z’坐标系下的表示为(0,sinθ,cosθ)。
所以,坐标系Oxyz到坐标系O’x’y’z’的变换矩阵为
Oxyz绕x轴旋转θ角的推导结果
可以看到,与我们上面的结论是一致的。